世間萬物的龐大性許多就是從一些簡樸的規則最先通過系統自覺的相互作用發生這就是神奇的自組織自組織現在被發現泛起在自然科學甚至社會科學的諸多領域本文主要先容數學上最早的看法模子阿貝爾沙堆模子,,撰文JordanEllenberg,威斯康星大學麥迪遜分校數學教授,,編譯許釗箐,你聽說過多米諾骨牌理論,Dominotheory,嗎這是冷戰時期美國為停止共產主義提出的地緣政治理論指社會主義國家會輻射影響周邊國家舉行社會主義變化此理論極大地影響了美國二十世紀中期的外交政策被用來為其霸權主義行為正名但拋開政治理論在自然界確實也有類似的多米諾骨牌行為從物理學的角度上講它應該被稱為沙堆理論,sandpiletheory,現實天下的政權轉變往往不是有條不紊的發生而是在突然間的協調配合下發生的好比阿拉伯之春以及東歐劇變,最終蘇聯解體,這些歷史事宜中鎮靜的時期里潛伏危急然後在某一刻驀然坍毀就像沙堆一樣若是你在一個沙堆上頂部再放一些沙礫沙堆可能在短時間內沒有顯著轉變然則霎時間類似於一場雪崩頂部的沙礫會以不規則的方式突然衝下而且在歷程中很可能引發小的次級流沙,這個比喻紛歧定會給我們帶來什麼事實真實的沙子很難去剖析就像現實天下的政治一樣但事業也在這裏物理學家巴克,PerBak,湯超,ChaoTang,和維森菲爾德,KurtWiesenfeld,在1987年提出了一種由沙堆的抽象而來的阿貝爾沙堆模子,Abeliansandpilemodel,這種模子在保持足夠簡樸以便於應用數學來研究的同時似乎又可以描繪真實沙堆的一些有趣但無序的特點而且適用於其他一些源自生物學物理學以及社會科學的龐大系統,,阿貝尓沙堆模子,它的歷程是這樣的我們可以想象一個無限網格在每一個網格上都有一小堆沙子並在每一個格子內用数字示意沙礫的數目,但在垂直偏向沙堆的高度是有一定限制的以是這裏假設每當網格中沙礫數目到達四則四粒沙礫會向周邊四個格子流散以是若是初始是兩個網格中有四粒沙礫,一樓窗戶下有井蓋風水(細數習俗里的風水禁忌)
,則沙堆流散之後左側的網格釀成了,
,此時右側網格已經跨越四粒的沙堆那麼它會繼續朝周邊的四個網格各流散一粒沙礫,
,現在由於所有位置的沙礫數目都不跨越四每個網格點都處在穩固的狀態以是沙堆流散的歷程就住手了,以上的剖析歷程中我們先舉行的是原本兩個網格中左側的流散其次是右側的我們若何知道哪個網格應該先向周圍流散呢好新聞是選擇的順序並不主要由於我們可以由穩固狀態網格的對稱性得出這種阿貝爾沙堆的最終狀態並不取決於我們選擇模擬流沙網格的順序這也是其取名為阿貝爾的緣故原由意味着我們選擇的先後順序不影響最後的效果,譯者注數學命名中的阿貝爾通常是為了紀念挪威數學家尼爾斯阿貝爾NielsHenrikAbel18021829他開啟了許多領域的研究並以證實五次方程的根式通解不存在以及橢圓函數的研究著名只管他數學成就極高但其生涯遇到了許多難題最後因肺結核不滿27歲逝世,好比說加法這種運算是阿貝爾的我們指加法中元素是可以交流的先加2再加3等價於先加3再加2然則大多數的運算或操作都不是阿貝爾的好比說先解鎖汽車再拉開車門那麼車門就打開瞭然則先拉車門再解鎖汽車獲得效果完全差異車門照樣關閉的以是沙堆的阿貝爾性子可以算是一個驚喜,那麼你可能會問若是我們在一個網格上放許多許多沙礫好比說一百萬粒會發生什麼當沙礫向周圍不停流散最後穩固下來時會是什麼樣子你可能會想象最後會是一個偉大平整的沙堆其中靠近中央的一個很大的區域會有許多包羅三個沙礫的網格,但並不是這樣下面這幅圖展現了最終穩固后的網格情形,
,百萬沙粒中央點上聚積約莫大量的沙礫準確地說是2的20次方來模擬一個阿貝爾沙堆顏色示意堆高藍色示意沒有沙子紫色示意一粒黃色示意兩粒褐紅色示意三粒丨圖片泉源WesPegden,好吧會不會是一百萬不足以使得沙堆數目是滑膩轉變的若是我們用十億粒沙礫呢會獲得一個平展的大的沙堆嗎最終的圖像是這樣的,
,十億粒沙礫模擬圖丨圖片泉源WesPegden,我們期待的平展情形沒有泛起相反那些奇異的分形圖樣連續存在在靠近中央的地方龐大的圖案就像是一個圓頂其內部還鑲嵌着許多格子看起來是某種幾何圖案但又像是隨機的在沙堆的界限則是眾多一致的三角形以規則的模式慎密毗鄰,這些圖片是由卡內基梅隆大學的數學教授WesPegden及互助者康奈爾大學的LionelLevine和CharlieSmart在沙堆的前沿研究中繪製的,,2,
,十億粒沙堆的中央圖像丨圖片泉源WesPegden,或者看到外緣尖銳怪異的細節,
,十億粒沙堆的邊緣圖像丨圖片泉源WesPegden,若是仔細考察你還可以考察到更細膩的局部結構像許多數學文章一樣我們在這裏給感興趣的讀者一個家庭作業沙堆穩固之後請說明兩個相近網格為什麼不能能同時為空,有謎底,事實上一些實驗解釋我們可能有更強的結論空的網格不僅不會相鄰它們甚至傾向於不靠近相互就像帶相同電荷的粒子它們會相互排擠,
,,龐大中所蘊含的簡樸紀律,在你真的去拿顯微鏡考察沙堆之前我不得不提醒你真正的沙堆是不會發生這種自覺性的結構的,,3,JohnConway,的生命遊戲,ConwaysGameofLife這個遊戲也是從異常簡樸的規則中發生了厚實的龐大性就像生命遊戲一樣阿貝爾沙堆也是一個元胞自念頭,cellularautomaton,它是一個微型的宇宙其中的運行紀律可以被盤算機可接受的離散語言全然形貌在沙堆中每個網格都具有從0到4中的一個数字通過一個簡樸的規則決議相鄰網格的值而在生命遊戲中網格的狀態更為簡樸每個狀態非生,值為1,即死,值為0,4,這裏的密度是指平均每個網格中有若干的沙礫,若是有太多的沙礫沙堆就會不穩固雪崩隨之發生若是沙礫太少沙堆則會很快穩固下來那麼若干算是我們說的太多呢事實上這個謎底出乎意料的簡樸偉大轉變和細小轉變的分界線是平均每個網格里2125粒沙礫,這個圖像是假設網格在所有偏向都有無限多個,我們扔下一粒沙待沙堆穩固后就再扔下一粒這樣沙礫會越來越多但若是沙礫到達邊緣流散出去的沙礫就消逝了往後沙堆會靠近一個平衡沙礫在界限掉落的速率即是我們增添沙礫的速率密度會在某個臨界值穩固下來固然系統會有局部顛簸隨着時間推移密度低的地方和密度高的地方會有一定的交替轉變但對於整體平均每個網格沙礫數會在2125粒左右,NIST,的RMDimeo就製作了一個系列沙堆處於臨界狀態的無聊影戲,5,寫道生命系統存在於相近雜亂邊緣的一個穩固的狀態是自然選擇實現並維持了這種平衡狀態就像是我們討論的沙堆它固然不是一個生命但它卻生氣勃勃不是嗎,在Pegden教授的網站上另有一些,然則我們並不知道沙堆的散落規則到底是什麼為什麼它使得系統不能阻止地朝着龐大的臨界狀態生長也不清晰哪些元胞自念頭可能显示出這種自組織臨界性,tropicalgeometry,有關該領域的目的是用類似的離散幾何徵象來模擬延續的幾何徵象,譯者注熱帶幾何學理論是首先由巴西數學家及盤算機科學家伊姆雷西蒙ImreSimon於1980年月生長熱帶一詞源於部門法國數學家對於巴西的刻板印象熱帶幾何可以看成是分片線性化的代數幾何在計數代數幾何中有主要的應用,在方形網格上,是一個分支路徑它接觸網格上的每個點但不會形成閉合的迴路無論這些明白是來自於那裡沙堆理論提醒我們數學中異常有趣的徵象就像物理學許多有趣的徵象經常泛起在相變之中就是在這裏我們處於兩個差其餘數學理論之間既擁有它們的特徵又可以跨越界限轉達信息和問題固然通常來說問題總是比謎底多,參考資料,1BakPTangCWiesenfeldKSelforganizedcriticalityAnexplanationofthe1fnoisePhysicalReviewLetters593813841987,2,3,4,5,
三僚烏兔太陽擇日法(烏兔太陽擇日書)