熱門測算
經常看球類競賽的同志們一定知道一句話，叫做“國足誰都贏不了，國乒誰都贏不了！”，這句話內在相當厚實（笑ing）。曾有過這樣一名國乒隊員，憑一手“妖怪盤旋球”，成就“發球一次得一分，一直發球一直得分”的神話，他即是曾在2008年北京奧運會上過五關斬六將，贏得男子乒乓球單打金牌的老球員——馬琳,所謂“妖怪盤旋球”，也叫“零式發球”，是讓乒乓球在發出后“不出台”，反而向球網回滾的急下旋發球。這種球過網高度低，前沖性小，下旋強烈，一樣平常的反膠选手很容易“扎網吃球”。,來來來，我們來看看馬琳的“妖怪盤旋球”！,我們看到，乒乓球被發出后，竟然事業般地跑了一個“U”形的蹊徑!,這個“U”形“妖怪盤旋球”事實是若何做到的？乒乓球被發出后又是若何形成“U”形軌跡的呢？這樣的問題引發了許多物理學者的好奇心。然則，這些問題研究起來有一定的難度。我們看到，乒乓球在運動歷程中會與球台發生碰撞，而且在碰撞時還會受到摩擦力的作用，運動情形相當龐大。而物理學力爭“簡樸美”，我們也希望所研究的物理模子加倍簡樸但不失嚴酷性。我們就不妨先不去研究乒乓球與球台的那十分龐大的碰撞歷程，轉而去研究一種類似的但同樣十分巧妙的運動——乒乓球在水平面內的“回滾”運動，這個運動就相對地簡樸了許多。,乒乓球的“回滾”運動很容易就能實現: 我們把乒乓球放在桌子上，按壓乒乓球的中後部，把乒乓球“搓”出去。只要我們“搓”的力度足夠大，乒乓球就會發生“回滾”徵象。就像這樣：,是不是很簡樸但又有趣呢？現在的你想不想對它放肆研究一番呢？,乒乓球的回滾問題是理論力學中的一個典型應用題。 現在，我們就來仔細研究一下。,乒乓球回滾的理論剖析,我們假設乒乓球被按壓出去后能夠迅速恢復形變，並把乒乓球在之後的運動看做平面剛體的運動。假設乒乓球初始時刻質心的速率為,，其繞中央軸逆時針旋轉的角速率為,. 以質心初速率偏向為,軸正向，豎直向上為,軸正向，確立本徵坐標系,，如下圖所示：,在這個階段，乒乓球是一直在“打滑”的，也就是不知足無滑條件。我們對乒乓球舉行受力剖析並列出方程：,(1),其中,是乒乓球相對於初始時刻的轉角，,是乒乓球的質量，,是乒乓球的半徑。我們看到，這些方程中未知數有5個，劃分是：,. 很顯著，光靠這三個方程是解不出來的，還需要彌補下面這兩個方程：,(2),團結(1)、(2)兩式，很容易地解出,(3),若是再加上初始條件,和,的話，就可以獲得質心位置和轉角關於時間的解,(4),我們清晰地看到：質心位置和轉角都是關於時間的二次函數，而且二次項係數都是負值。這就說明，乒乓球在運動到一準時刻后，就會“掉頭迴轉”，跑回來。然則……,我們需要明確一個問題——微分方程解的“有用性”，像式(4)這樣的解，不是一直都確立的。當乒乓球到達無滑轉動的狀態時，我們的最原始的受力剖析就泛起問題了：無滑轉動時地面臨乒乓球的摩擦力可不即是動摩擦因數與正壓力的乘積啊！而這一式子應當換成無滑條件:,問題龐大了……,我們不妨來想一個簡樸的問題：對於隨便給定的初速率和初始角速率，乒乓球都能回滾嗎？謎底是否認的。我們來繼續研究乒乓球到達無滑轉動后的運動。我們將無滑條件代入(3)式，求出到達無滑轉動的時刻,，此時質心的速率和乒乓球轉動的角速率劃分為,從這兩個式子中我們就可以看到，乒乓球並不是總能滾回來的，它另有可能住手轉動或者繼續向前轉動，這些都取決於初始時刻的轉動角速率和質心速率。,現實上，這樣的圖像很好明白：當球的質心初速率很大的時刻，乒乓球就不能回滾，而是到達純轉動後繼續向前轉動；若是條件控制適合的話，乒乓球也能停下來，靜止在質心速率和乒乓球轉動角速率同時減小至零的位置。,於是，一個判斷條件就來了：當,時，我們令,，則有：,以上即是未到達純轉動時乒乓球的運動狀態。到達純轉動后的運動很容易明白，若乒乓球質心速率不為零，則質心作勻速直線運動，乒乓球相對質心轉動的角速率,則為定值,.,至此 ，乒乓球“回滾”的物理圖像就已經十分清晰了。我們看到：乒乓球“回滾”只是其中的一種運動，招遠一碗水算命讓誰給破了(東漢末年名人名臣列表總覽大全)
它到達純滾后另有可能繼續向前運動，或者原地“站住”，靜止不動。,若是哪位同志有幸加入了2016年北京師範大學第十五屆青年西席基本功大賽，就會看到這樣的一個畫面。物理學系西席塗展春以“乒乓球回滾”為焦點問題解說了《剛體平面平行運動動力學》一課，詳細講述了剛體平面平行運動的知識，並深入淺出地剖析了乒乓球“回滾”的歷程。,咦？這個示意圖怎麼有點新鮮呢？完整的動畫是這樣的：,怎麼感受跟我們平時見到的乒乓球不太一樣呢？,固然，這裏出現的是一個動畫模擬圖。若是列位真的設計去拍攝乒乓球的回滾的視頻，就會發現，由於乒乓球運動太快，手機或者通俗的攝影機基本捕捉不到清晰的圖像，必須使用高速攝影機才氣將歷程拍攝下來。高速攝影機不是一樣平常的貴。於是，參賽选手就行使了壯大的多媒體手藝，將221張圖片疊成一副1/8倍速動畫，展示在了人人眼前。為了能夠區分“乒乓球”在旋轉，选手還特意在繪製的圓上添加了一些幾何圖形，這樣就顯得很直觀了。,這確實有點難度。除了手藝上存在難題，這個模擬圖上還存在一個不大又不小的問題，也是平面動畫的“通病”——少了些需要的“立體感”。這就使得動畫看上去不像是乒乓球在“回滾”，而是一個類似圓柱體的物體在“回滾”。於是，筆者決議，用壯大的工具——MATLAB，通過編程來重製乒乓球回滾的模擬圖！,MATLAB繪製乒乓球靜態圖,要想讓圖動起來，就需要一個容易操控的靜態圖，之後，改變其中的參數，使之隨同時間轉變，就可以到達動畫的效果，好比這樣：,[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));夢見一個老太太給我算命(中國古代乞丐文藝圖鑑)
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xs,ys,zs,l);
axis equal
shading interp;
,我們就畫出了一個球體：,這內里用到了MATLAB四維作圖，固然，第四維度沒法直接畫出來，MATLAB就用顏色來示意了，這也正好為我們考察乒乓球的旋轉提供了利便。剩下的事情，即是做運算，爾後控制動畫的繪製，運算的方程在這裏就不陳述了，人人可以翻前文來看哈！有一些難度的是動畫的繪製。好比，我們想讓這個球體轉起來，怎麼實現呢？我們能夠直接想到的是用rotate下令。然則，這個下令有一個致命的瑕玷，就是要先畫出原圖形，再舉行旋轉。當使用循環繪圖的時刻，圖形窗口沒有時間來響應rotate下令，就會泛起圖形哆嗦或者“看上去不旋轉”的問題。,陷入窮苦之中……,然則，車到山前必有路。實在，我們完全可以不用MATLAB內里內置的指令，而是自己去寫一個函數，讓這個函數先將坐標“旋轉”好，再用surf指令繪圖。,就這麼干！,MATLAB繪製乒乓球動態圖,人人一定學過線性代數，知道若將一個點
繞着某個軸旋轉，可以由一個線性變換矩陣來實現，好比令其繞着
軸旋轉，就是這樣：,那麼，令其繞着一條直線旋轉呢？我們假設這條直線平行於
軸，那麼，決議這個直線的參數只有兩個，即是這條直線的
坐標和
坐標。此時，旋轉后的點就可以這樣示意：,人人應該會發現，,，這也能看出直線的縱坐標對旋轉沒有影響，我們也就不需要傳入直線的縱坐標參數了。思量到要盤算的數據是矩陣形式，我們把上面的矩陣等式寫成三個數目等式，並使其返回值為旋轉后的坐標。憑證這個原理，我們就能做出乒乓球繞其瞬時軸旋轉的動畫啦！就像這樣：,[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
for t=1:1:180
[xl,yl,zl]=rotter(0,0,xs,ys,zs,t*3*pi/180);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xl,yl,zl,l);
axis equal;
shading interp;
pause(0.1)
drawnow;
end
function [xs,ys,zs]=rotter(xc,zc,x,y,z,th)
xs=xc+cos(th)*(x-xc)+sin(th)*(z-zc);
ys=y;
zs=zc-sin(th)*(x-xc)+cos(th)*(z-zc);
end
,↓~效果還不錯~↓,就差把盤算加入進去啦！只需要履歷一段嚴謹的邏輯性的謄寫歷程，程序就會大功告成！我們來看看最後的效果！,~回滾~,~繼續向前轉動~,~住手轉動~,大功告成！效果照樣很好的~,最後是彩蛋時間！這裡有塗展春先生的競賽現場視頻喲！還不來看？,↓ ↓ ↓ ↓ ↓,泉源：京師物理,編輯：Quanta Yuan,近期熱門文章Top10,↓ 點擊題目即可查看 ↓,1. 首屆黑洞PS大賽來襲！為了這張「高糊」的圖，中國科學家做出了啥孝順？,2. 物理學四大神獸，除了“薛定諤的貓”另有誰？,3. 地下多大的金礦才氣影響到單擺實驗？| No.149,4. 為什麼用木棍打衣服就可以洗清潔衣服？| No.150,5. 為了替你出氣，我們給憎惡的楊柳絮來個「以暴制暴」,6. 玩掃雷另有什麼技巧？科學家的玩遊戲方式你絕對想不到,7. 在我國，沒有任何一張輿圖能告訴你你的真實位置,8. 在客戶魚嘴裏提供服務的小清潔蝦、清潔魚，是怎麼知道自己不會被吃掉的呢？,9. 你以為土撥鼠只會尖叫？實在它可能正在罵你,10. 你知道為了測博爾特的速率，我們有多起勁嘛？,
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