論河圖洛書之起源
[概要]
河圖洛書所表達的是一種數學思想。只要細加分析便知，数字性和對稱性是“圖書”最直接、最基本的特點，“和”或“差”的數理關係則是它的基本內涵。完全可以用數學方法證明或推導出河圖洛書，並證明河圖與洛書同出一源。還可以發現，河圖洛書與算盤”和“萬字符”存在着一定程度的聯繫。
河圖洛書是以黑點或白點為基本要素，以一定方式構成若干不同組合，並整體上排列成矩陣的兩幅圖式，如圖所示。
河圖洛書最有名的出處來自於《易傳·繫辭》中的“河出圖，洛出書，聖人則之”這句話，並據此認為八卦就是根據這二幅圖推演而來的，從而成為易學研究的重要課題之一。由於歷代皆認為它們是“龍馬負之於身，神龜列之於背”，所以多少世紀以來，它一直披着神秘的外衣，公認為是中華民族文化之源的千古之謎。
當審視、梳理河圖洛書的歷史蹤跡之後，我們會發現這樣一些共識：
——河圖洛書，在先秦西漢的典籍中有其文字記載。《尚書·顧命》說“大玉，夷玉，天球，河圖在東序”；《論語·子罕》稱“子曰：風鳥不至，河不出圖，吾已矣夫！”；《管子·小臣》講：“昔人之受命者，龍龜假，河出圖，洛出書，地出乘黃，今三祥未見有者。”以後，在漢代劉歆、孔安國、楊雄、班固等人的著作中也屢有提及。
至於河圖洛書到底是個什麼樣子，各書上都沒有明言。
——河圖洛書在宋代初年才被發現。它們始傳於宋代華山道士陳摶，他提出的圖式叫作《龍圖易》，《宋文鑒》中載有《龍圖序》一文，講到了龍圖三變的說法，即一變為天地未合之數，二變為天地已合之數，三變為龍馬負圖之形，最後形成了河圖洛書二個圖式。但是，陳摶在龍圖三變之後，沒有提到河圖洛書的名稱。第一次給這兩幅圖命名的是北宋易學家劉牧，他精研陳摶所傳《龍圖易》，著書《易數鈎隱圖》，於是，河圖洛書才為世人所知。當時，對採用“圖十書九”，還是“圖九書十”有過爭論，最終定位於圖十書九，一直延續至今。宋代的象數學家相信八卦就是由河圖洛書這二幅圖式推演而來的，從而，易學史上形成了用河圖洛書解釋八卦起源的圖書派。
——洛書與漢初著作《大戴禮記》中記載的明堂九室，與西漢未年著作《乾鑿度》中的九宮說，在9個數的方位配置上完全一致。明堂大約在原始社會末期出現，是我國古代社會生活中具有禮義兼祭祀作用的建築物，深受歷代統治者的重視。
總之，從現存的有關史料來看，河圖洛書的來源古老悠久，撲朔迷離，沒有一個明確可靠的答案。
怎樣來正確認識河圖洛書呢？
一、解析河圖洛書
直觀地考察河圖洛書，不難發現，這兩幅圖具有数字性和結構對稱性這兩個明顯特點：
第一，数字性。數的概念直接而又形象地包含在圖書之中。“ ○ ”表示1；“●●”表示2；……依次類推，河圖含有1~10共10個自然數，洛書含有1~9共9個自然數。其中，由黑點構成的數為偶數，由白點構成的數為奇數，表達了數的奇偶觀念。因此，数字性是河圖洛書的基本內容之一。
第二，對稱性。兩幅圖式的結構分佈形態對稱，具體表現在二個層面：其一，由黑點或白點構成的每一個數的結構形態是對稱的；其二，整體結構分佈對稱。河圖，以二個数字為一組，分成五組，以[5，10]居中，其餘四組[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均勻分佈在四周。洛書，以數5居中，其餘8個數均勻分佈在八個方位。
進一步分析，河圖洛書還包含着豐富的數理關係，下面分別論述。
河圖包括的數理關係：
1、等和關係。除中間一組數（5，10）之外，縱向或橫向的四個数字，其偶數之和等於奇數之和。
縱向数字：7、2；1、6 7+1=2+6
橫向数字：8、3；4、9 8+4=3+9
並得出推論：河圖中，除中間一組數[5，10]之外，奇數之和等於偶數之和，其和為20。
2、等差關係。四側或居中的兩數之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均為5。
洛書包含的數理關係：
1、等和關係。非常明顯地表現為各個縱向、橫向和對角線上的三數之和相等，其和為15。
2、等差關係。細加辨別，洛書隱含着等差數理邏輯關係。
①洛書四邊的三個數中，均有相鄰兩數之差為5，且各個数字均不重複。
上邊[4、9、2] 9-4=5
下邊[8、1、6] 6-1=5
左邊[4、3、8] 8-3=5
右邊[2、7、6] 7-2=5
顯然這個特點與河圖一樣，反映出洛書與河圖有着一定的內在聯繫。
②通過中數5的縱向、橫向或對角線上的三個數，數5與其它兩數之差的絕對值相等。
縱向 |5-9|=|5-1|或9-5=5-1
橫向 |5-3|=|5-7|或5-3=7-5
右對角線|5-2|=|5-8|或5-2=8-5
左對角線|5-4|=|5-6|或5-4=6-5
綜合以上分析，我們可以清楚地發現，數理關係和對稱性是河圖洛書圖的基本特點，河圖洛書包含着基本的自然數之間“和或差”的算術邏輯關係，儘管兩者有所差別，但是它們表示的數理關係有相似共同之處，有內在的必然聯繫。
二、推導河圖洛書
用純數學的方法來推導或證明河圖洛書的形成過程。
中國文字的起源告訴我們，漢字屬象形文字，書畫同源，中國原始古人擅長以畫圖方式來表達對事物的認識。現在，不妨用原始的、簡單的作圖方法來尋找1~10這10個自然數之間的數理關係。
1、按對稱分佈方法作圖，採用窮舉法，以數5為母體居中，數1、2、3、4均勻分佈在四周的組合圖式有以下3種：
1 1 1
| | |
2—5—4 3—5—4 3—5—2
| | |
3 2 4
A—1 A—2 A—3
如圖所示，這些圖式可以看作是表示了1～5這5個自然數之間的相互關係。
2、當以上圖式中的各數，加上5時，就表示了6～10這5個自然數之間的相互關係，其圖式為：
3、把上述對應圖式兩兩重疊，就表示了1~10這10個自然數之間的相互關係，其圖式為：
整理C系列圖式：
①C—1圖式
縱向 6+8≠1+3
橫向 2+4≠7+9
即其縱向或橫向的奇數之和不等於偶數之和。
這個圖式體現不出数字之間的運算規律性，故捨去。
②C—2圖式
縱向 6+2=7+1
橫向 8+4=9+3
即其縱向或橫向的奇數之和等於偶數之和，故保留。
7/2
|
由C—2圖式T 8/3—10/5—9/4
|
6/1
此圖式即為河圖。
③C—3圖式
縱向 6+4=1+9
橫向 8+2=7+3
即其縱向或橫向的奇數之和等於偶數之和，且這兩個方向的奇數或偶數之和也相等，均為10。所以這個圖式還可以進一步演化。
1 6 83 1 6
由C-3圖式T 8 10 / 5 7 T
10 / 5 7
3 2
4 9 4 9 2
捨去10T 8 1 6 T 4 9 2
3 5 7 3 5 7
4 9 2 8 1 6
最後一個圖式即為洛書或九宮圖。
由此可見，河圖洛書同出一源，是數學邏輯推理的結果，洛書較之河圖表達的數理關係更為豐富、高級一些。河圖洛書以圖示方式表示出最基本的自然數之間的“和差關係”，本質上表現為數學思想。
三、構思河圖洛書起源的歷史原因
數學是人類走向文明的嚮導，人們離不開數學，否則，就不能正確分析和把握客觀事物，就不能正確認識客觀世界。在三百萬年前的中國原始社會，結繩記事昭示了人類數學文明的啟蒙。在人類最初經歷的原始社會，儘管生產力水平低下，但也存在着比較簡單的社會生產、交換、分配和消費等社會生產活動過程。這些活動離不開數，可以想像，原始人要用數來清點勞動人數和計算勞動工具，要用數來記錄農牧和漁獵的勞動成果，要用數來分配勞動產品，還要用數來交換剩餘勞動產品，如此等等。否則原始社會的生產活動就不能順利進行，生產力就不能向前發展。人類最初對數的認識就是在這種原始社會生產實踐活動中產生並逐漸發展起來的。隨着原始人對數的知識的不斷增加，必然會總結出最早的、最初級的數學規律。
不妨把河圖洛書假設為與原始社會生產力水平相應的數學規律，這個結論能夠成立的主要理由是：1、河圖洛書反映了加減法運算法則，表達了和差數理關係，是數學史上最初級的數學規律；2、河圖洛書中各數的表示方法與結繩記數方法相符合；3、河圖洛書是對數及數理關係的如實形象描繪，屬象形文化範疇。所以，河圖洛書的起源可以追溯到中國文字的起源階段，它產生於中國文字形成之前的原始社會。
河圖洛書，特別是洛書很可能作為一種計算工具或計算原理在原始社會生產活動過程中起着重要作用，這種作用在明堂建築中或多或少可以看出。從表面上看，洛書出現在古代禮儀兼祭祀的場所。洛書運用於明堂建築便是證明。其實，在其它古代禮儀兼祭祀的場所，也發現了洛書的蹤跡。例如，西安半坡新石器晚期彩陶魚紋具有分別表示從一至九條魚的數的神秘意蘊，這種魚紋彩陶是祭器，設於祭場，其數據排列也是南九北一，東三西七，東南四西北六，西南二東北八，中央五、與洛書相同。從本質上看，古代禮儀兼祭祀的場所是舉行重大活動的地方，而最重大的活動莫過於分配勞動產品。在原始社會氏族公社制度下，當人們經過一定時期的勞動，需要分配勞動果實，共享豐收喜悅之時，大家集中起來，舉行盛大慶典活動。他們要祭祀，告慰先祖，感恩上蒼；他們要採取一定方法，正確盤點和合理分配勞動產品，在這個過程中，原始人利用洛書進行計算，洛書起着計算工具或計算原理的作用，從而，大大方便了對勞動產品盤點和分配工作。也許，正因為洛書的存在直接關係到每個人的切身利益，所以洛書便成為原始古人崇拜的吉祥物。由於洛書與龜背的自然生成的形狀具有同構性，因而，洛書可以烙刻在龜背上，於是也就有了洛龜貢書的美好傳說。
四、關於與河圖洛書相關的內容
關於河圖洛書與《易經》的關係，這裏不談。要講的是一些不為人們注意的有關內容。
1、洛書隱含萬字符。
洛書稍為變化，就可推進萬字符：
④ ⑨ ②
③ ⑤ ⑦ T
⑧ ① ⑥
在萬字符結構狀態下，洛書隱含的，即不易一眼看出的數理關係，十分清楚地被反映出來，如兩數之差為5的四組數；萬字符的兩個曲臂上，各數之和相等，均為25，等等。換句話說，萬字符是對洛書的一種獨特的數學解析，並且它反映出洛書與河圖在數理方面的內在聯繫，只要把曲臂外側拉直，洛書的結構形態就與河圖一致。當有了洛書和萬字符，把河圖省去也可以，因為河圖中的數理關係也基本得到了反映。鑒於以上分析，與其說萬字符象徵著光芒四射的太陽光線，還不如說萬字符是洛書的轉化形態，一方面，我們無論如何也不能從光線中看出萬字符;另一方面，古人因崇拜洛書而敬仰萬字符也是說得通的。
2、河圖洛書包含算盤的數學原理
首先從數學原理看，河圖洛書的數理特點與算盤的主要規則相吻合：其一，河圖四側的兩數之差均為5，即一個大於5的基本自然數可表示為數5加上一個小於5的自然數，這與算盤珠碼中把5顆下珠升作一顆上珠的五升制規則相對應；其二，洛書的縱、橫和對角線方向上的三數之和均為15，這與算盤中每檔7珠的示值相一致。其次從歷史發現看，儘管“操珠運算”的思想歷史悠久，但最早記錄的成熟算盤是宋初（公元960—1127年）反映人民生活的宏大畫卷“清明上河圖”，這幅圖的左端有一架十五格（檔）七個黑點（珠）的大算盤。而河圖洛書儘管在先秦時期早有傳說，但直到宋初才被世人所知。河圖洛書的發現與算盤的產生的歷史時間有着驚人的巧合。綜上緣由，可以作一猜想，算盤的實物形態起源於珠，算盤的數學原理來自於河圖洛書。
最後需要指出的是，認識事物只有從事物本身的內容以及相互聯繫的事物出發，才能找到正職的答案。河圖洛書的本質是數學，是原始古人創造的一項數學成果，這些正確的思想是不會從天上掉下來的，古人稱：“洛書者，數之源也”的觀點名副其實。
河圖：
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洛書：
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